Exo Robin Série et Matrice

I - Convergence de la série de terme général Un = ln( 1 + (-1)^n / n^a ) avec a > 0
Honte à moi, je n'ai pas réussi...
J'ai dit que Un -> 0 donc pas de dv grossière (fallait bien meubler)
J'ai dit que Un ~ (-1)^n / n^a donc |Un| ~ 1/n^a donc il y a convergence absolue de la série Un si a est strictement plus grand que 1 par comparaison avec une série de Riemann. (silence de l'autre coté...)
Puis, 5 min plus tard ; indication : faire un DL... alors je fais un DL : Un = (-1)/n^a + 1/n^(2a) + o(1/n^(2a)) ... So what ?
Il doit y avoir un truc évident qui permet de conclure, mais ça fait trois heures que je cherche alors si quelqu'un à la solution, merci de la communiquer en réponse, parce que c'est hyper frustrant...


II - On étudie les matrices inversibles d'ordre n vérifiant l'égalité :
M² + tM = In

a) Montrez que M possède un polynôme annulateur de degré 4. (on a M² + tM = In = t(M²) + M
d'où M² - (tM)² + tM - M = 0 et on remplace tM par In - M². On trouve finalement que P(X) = X^4 - 2X² + X est annulateur de M)
b ) Montrez que M - In est inversible. (on a det(M)<>0 car M inversible or det (M - In) = det(tM - In) = det(-M²) = (-1)^n * det(M)² <> 0 donc M - In inversible)
c) Conclure (et là c'est le drame... je dis que d'après les deux questions précédentes, 0 et 1 ne sont pas valeurs propres, donc les seules valeurs propres qui restent sont celle du polynôme annulateur excepté 0 et 1 (-1/2 +/- sqrt(5)/2 ) ... et j'ai pas su quoi dire de plus, lamentable ! J'pouvais crever pour une indication, j'ai donc passé 10 minutes à scruter le vert du tableau à la recherche d'une idée...
Once again, si quelqu'un a une idée de solution, je suis preneur...

Solution du premier exercice (oui oui, je la trouve environ 30 minutes après avoir posté l'énoncé, j'm'en vais me jeter dans la Seine...)


On a effectivement Un = (-1)^n / n^a + 1/n^(2a) + o(1/n^(2a))

On a donc convergence si a>1. (par convergence absolue)

On pose Xn = (-1)^n / n^a
et Yn = 1/n^(2a) * (1 + o(1))

La série Xn converge quel que soit a, d'après le CSSA.
On a Yn ~ 1/n^(2a) converge ssi a > 1/2


et voilà.

Nnon c'est plus subtile que ça pour avoir un ssi quand il y a un petit to il me semble. J'essaye de rédiger Ca demain matin
Par contre pour le deuxième eco je comprends pas ta 2 eme égalité comment tu n'obtiens et le lien logique avec la suite (coquilles il me semble)
En tout cas merci.

Oubli la deuxième partie du message le t=transposée autant pour moi xD

(je galère grave à publier XD)
tu ne pouvais en effet pas conclure car pour a dans ]0,1/2] un 0(1/n^(2a)) ne diverge pas forcément.

Pour l'exo suivant je vois pas trop comment conclure on peut juste dire que le polynôme caractéristique de M est (X+1/2+sqrt(5)/2)^2.(X+1/2-sqrt(5)/2)
ou (X+1/2+sqrt(5)/2).(X+1/2-sqrt(5)/2)^2. Elle n'est donc pas forcément diagonalisable mais elle est trigonalisable... D'autres idées ?

Bin non, justement, pas d'autres idées...
sinon je suis d'accord avec toi pour l'exo 1.

Moi j'ai juste un truc à dire pour la deuxième question exo 2,
tu réutilises le polynôme annulateur appliqué en X vecteur propre, tu obtiens :
a^4 -2a^2 + a =0 -1 n'est pas solution donc det(M-In)pas égal à 0 et voilà.

Pour la conclusion, je crois que le polynôme annulateur est scindé à racines simples, donc M est diagonalisable, bon ça me paraît bizarre puisque dans ce cas à quoi sert la question précédente?

Et pour le DL, le petit o ne diverge pas forcément certes, mais si devant ça diverge qu'est-ce qu'on s'en fiche. Il me semble qu'un petit o de 1/n² converge si 1/n² converge, en tout cas Meunier ne m'avait pas fait de remarque quand j'ai dit ça