On commence avec l'exo Maple, franchement easy :
Trouvez le polynôme de degré minimal tel que P(x+1) - P(X ) = X^8
En déduire la valeur de Sum(k^8,k=1..n).
[>restart:
[>P:=x->sum(a[i]*x**i,i=0..9);
[>Q:=P(x+1)-P(x):collect(Q,x); #collect sert à ranger les coefficients dans l'ordre, j'voulais qu'ça soit joli
[>sol:=solve({coeff(Q(x),1)=0,coeff(Q(x),x)=0,...,coeff(Q(x),
=1},{a[1],a[2],...,a[9]}):
[>subs(sols,Q(x));
[>print(Q(x)); #on a là le polynôme qui convient.
[>print(Q(n+1)-Q(0)); "et ça c'est, en voyant venir le télescopage, la valeur de la somme demandée
Exo au tableau.
f(x) = sum( x^n * ln(1+1/n), n=0..infinity)
1. Rayon de convergence et intervalle de convergence réel.
2. Existence et valeur de la limite de f en -1.
3. On a l'intégrale I = int( (-1)^E(1/x) dx/x, x=0..1)
Convergence et valeur ?
Soluce : 1 : D'Alembert powaaaa ! R=1. Puis en 1, ça converge pas de façon obvious.
2 : en -1, série alternée, CSSA, ça converge.
La il m'a demandé de faire les calculs, y'a une manip sur le ln à faire et on arrive avec un ln du produit des impairs au carré sur les pairs au carré et là il m'a dit que d'après les intégrales de Wallis ça valait 4/Pi (mais j'avais pas à l'savoir ^^)
3 : convergence, étude habituelle...
Pour la valeur on dit que I vaut la somme des intégrales similaires mais allant de 1/n à 1/n+1 et sur chaque intervalle la partie entière vaudra n, ce qui nous ramène à une intégrale de (-1)^n dx/x qui donne finalement la somme définie au départ, prise en x = -1.
Fini.
Examinateur quinqua, sympa, cool, détendu, enfin tu t'sens pas sous pression une seule seconde !
Trouvez le polynôme de degré minimal tel que P(x+1) - P(X ) = X^8
En déduire la valeur de Sum(k^8,k=1..n).
[>restart:
[>P:=x->sum(a[i]*x**i,i=0..9);
[>Q:=P(x+1)-P(x):collect(Q,x); #collect sert à ranger les coefficients dans l'ordre, j'voulais qu'ça soit joli
[>sol:=solve({coeff(Q(x),1)=0,coeff(Q(x),x)=0,...,coeff(Q(x),
=1},{a[1],a[2],...,a[9]}):[>subs(sols,Q(x));
[>print(Q(x)); #on a là le polynôme qui convient.
[>print(Q(n+1)-Q(0)); "et ça c'est, en voyant venir le télescopage, la valeur de la somme demandée
Exo au tableau.
f(x) = sum( x^n * ln(1+1/n), n=0..infinity)
1. Rayon de convergence et intervalle de convergence réel.
2. Existence et valeur de la limite de f en -1.
3. On a l'intégrale I = int( (-1)^E(1/x) dx/x, x=0..1)
Convergence et valeur ?
Soluce : 1 : D'Alembert powaaaa ! R=1. Puis en 1, ça converge pas de façon obvious.
2 : en -1, série alternée, CSSA, ça converge.
La il m'a demandé de faire les calculs, y'a une manip sur le ln à faire et on arrive avec un ln du produit des impairs au carré sur les pairs au carré et là il m'a dit que d'après les intégrales de Wallis ça valait 4/Pi (mais j'avais pas à l'savoir ^^)
3 : convergence, étude habituelle...
Pour la valeur on dit que I vaut la somme des intégrales similaires mais allant de 1/n à 1/n+1 et sur chaque intervalle la partie entière vaudra n, ce qui nous ramène à une intégrale de (-1)^n dx/x qui donne finalement la somme définie au départ, prise en x = -1.
Fini.
Examinateur quinqua, sympa, cool, détendu, enfin tu t'sens pas sous pression une seule seconde !
