EO Robin (Ondes electromagnétiques)

Examinateur : on ne peut plus sympatique, avenant, et compréhensif.
Exo : de l'electromag... easy.

On cherche l'eq de propag et la relation de dispersion de champ E dans différent modèle/milieu.
On considère E comme une OPPPH avec k = k' + jk''

1. Dans le vide et pour f entre E-4 et E41 Hz
a - Rappelez les eq de Maxwell dans le vide et leur significtion physique. En déduire eq de propag puis eq de dispersion. Tracez k'(w). Que dire de la dispersion, absorption, vitesse de phase, de groupe, vitesse de propagation de l'énergie.

2. Dans le vide, avec masse du photon non nulle.
On a maintenant : div(E) = p/esp0 - V/d²
rot(B) = µ0*(j + eps0 * dE/dt) - A/d²

b - Dimension de d ? relation entre d, une masse caractéristique, c et h (cst de Planck) Interprétation énergétique. (relation mc² et hf, deux énergies "très célèbres" )
c - Eq de propag, relation de dispersion. Vitesse de phase et de groupe. Que dire de la propagation, absorption ? Tracés. Pour quelle fréquence ce modèle est-il valable ? (réponse : pour f inférieure à E-4 Hz)

3. Milieu discontinu.Dans le cadre d'un milieu discontinu, on pose E(xn,t) = E(nl,t) et on arrive à un eq de la forme :
0 = l²/c² * d²E/dt² + 2E(xn,t) - E(x(n-1),t) - E(x(n+1),t)
d - dimension de l, interprétation physique ? relation entre l,c, h et G (cst gravitationelle) par analyse dimensionelle ou étude énergétique.
e - Déterminez la relation de propragation de l'onde. Relation de dispersion ? Interprétation.

La correction.

a-
div(E) = 0 et div(B) = 0 (champ E et B a flux conservatif, onde TEM en passant en notation complexe)
rot(E) = -dB/dt et rot(B) = 1/c² * dE/dt

Double rotationel sur l'eq de Maxwell Faraday, on secoue le chmilblik et ça donne une equation de d'Alembert tout ce qu'il y a de plus classique.
L'eq de dispersion est donc k² = w²/c², or k = k' + jk'' d'où :
k'² - k''² + 2jk'k'' = w²/c²
d'où k' = w/c et k'' =0
On a une onde propagative, sans absorption, normal : c'est le vide.
Vphase = Vgroupe = Venergie = c.


b- Par analyse de div(E) = -V/d² on voit que d est en mètre.
On a deux énergies célèbres : E = hf (fréquence d'un proton émis par une desexcitation d'un atome) et E = mc²
ainsi hf = mc² or c = d*f d'où m = h/(d*c) c'est une masse caractéristique, probablement celle d'un photon (si on considère qu'il en a une).
Là l'examinateur m'a demandé une appli numérique, que je n'avais pas faite, n'ayant pas d, il m'a alors indiqué que j'avais qu'à le faire en prenant "f arbitrairement" mais j'suis passé à la suite.

c- Même méthode pour trouver l'eq de propagtion, en se rappelant que -grad(V) + dA/dt = E
on trouve E/d² + d²E/dx² - 1/c² * d²E/dt² = 0
et on trouve finalement l'eq de dispersion : k² = w²/c² - 1/d²
La deux possibilités : soit on prend k' = w²/c² - 1/d² et k" = 0
soit on prend k' = 0 et k" = 1/d² - w²/c².
L'examinateur m'a indiqué qu'il fallait prendre la seconde.
On aboutie alors à une vitesse de groupe négative, et l'exam m'a demandé pourquoi. au début j'ai pas trouvé et il m'a demandé de reprendre la forme de E.
On prend E, on passe en notation réelle et on a un champ de la forme :
E = E0*cos(wt)*exp(-k"x) uy
donc une atténuation et surtout pas de propagation car pas de couplage entre x et t ! D'où la vitesse de groupe négative.
Là j'ai eu le droit à des questions en rab : l'exam : delta vous fait penser à quoi ? Moi : longueur de peau. L'exam : Ok, et ça se retrouve où ? Moi : dans les plasma, les métaux, et je déroule sur la longueur de peau gnagnagna. L'exam : ok. Maintenant si on choisi l'autre solution on a quoi comme forme d'onde ? Moi : On a une onde qui sera propagative mais le milieu est dispersif, on a Vphase et Vgroupe qui tendent vers c quand w->+oo et Vphase -> +oo et Vgroupe-> 0 quand w-> c/d. (petit graphe)

d - Bon l est en mètre comme le montre une analyse dimensionnelle rapide. Interprétation : j'ai dit que c'était une distance caractéristique d'interaction entre les photons. En fait j'ai essayé de coller au cours (merci M. Lecaque ) j'ai envoyé tout ce que je savais sur le modèle de la chaine infinie d'atomes dans les solides, en gros là on avait la même chose mais avec des photons à la place des atomes. Apparement, ça a plu.
Par analyse dim l = sqrt(G/hc) par contre là j'ai été incapable (plus le temps) de faire une analyse...
e - On fait les dl en série de Taylor des E(x(n-1),t) et E(x(n+1),t) à l'ordre deux, on remplace dans l'q et on obtient une eq de d'Alembert avec d²E/dx² - 1/2c² * d²/E/dt² = 0
d'où une relation de propragtion k² = w²/2c² et là, gong final. Je suis pas tout à fait sur de ce dernier résultat parce que ça donne un peu une vitesse de phase/groupe égale à sqrt(2)c, donc supérieure à c, et là, bin bof quoi... Donc bof.

Désolé pour mon commentaire si rapide, je viens juste de lire ton exo en entier (sisi ), enfin juste pour dire que si je me souviens bien, le fait que la vitesse de phase soit plus grande que c ne veut pas forcément dire que tu t'es planté, il me semble qu'en cours on avait dit que c'était juste un "artifice mathématique et qu'elle n'avait aucune réalité physique". Par contre pour la vitesse de groupe, c'est un peu plus ennuyeux

en réalité le facteur génant disparait quand on ne fait pas d'erreur de calcul dans le dvp de Taylor de u((n+1)a,t) et u((n-1)a,t)
m'en suis rendu compte quelques minutes après avoir écrit le message, rageant