d'abord l'exo, après la petite histoire de mon exécution.
on donne :
f:=x->int(exp(-u^2),u=0..x) et g:=x->int(exp(-(x/cos(u))^2),u=0..Pi/4)
1) f et g sont elles régulières?
2) sans maple montrer que f^2 + g = cste
3)calculer lim(f(x),x=infinity) connaissez vous d'autres méthodes?
on donne F:=x->exp(x^2/2)*int(exp(-u^2/2),u=0..x)
4) montrer que F est décomposable en série entiere, sur quel intervalle?
5) on note an les coeff de la série entiere, calculer les 17 premiers termes
6)trouver une éque diff pour F, en déduire une relation entre les an
7) y'avait d'autres questions, mais je suis mort avant.
L'histoire :
j'entre dans la salle, il me dit que tout est à faire sur maple, mais si j'y arrive pas, je peux aller au tableau mais attention, interdiction d'effacer quoi que ce soit, et petit laïus sur le fait qu'il veut les énoncés des théorèmes parfaits, avec des phrases complètes, sujet verbe complément. Ah, et y'a plusieurs 4 versions de maple, prenez celle sur laquelle vous avez travaillé (mais y'a pas la notre c'est moche....) jusqu'ici je me méfie pas trop de ce qui m'attend.
Question 1) omg wtf c'est quoi régulière ? je connais les matrices régulières (inversibles), je connais la régularisée pour les série de fourrier, mais fonction régulière... Bon dans le doute, je me lance sur la piste des séries de fourrier, et montre que les fonctions sont continues, et même C1.
Vu les fonctions, j'vois pas l'interet de me faire sur maple, donc quand il arrive j'lui dis que j'l'ai pas fait sur maple (je compte lui expliquer en live), il me dit, ah bon, ben passez au tableau alors.
Moi : euh.. je vais juste parler de la continuité
Lui : ah ben on vous demande régulière, si vous parlez de la continuité c'est votre choix, c'est a vous de savoir ce que ça veut dire.
Moi : ok. Alors pour la premiere fonction exp(-u^2) continue donc possède une primitive que je note h, et f(x)=h(x)-h(0) donc f est C1.
Lui : c'est quoi les nom des théorèmes ?
Moi : euh, j'ai juste utilisé le théorème qui dit qu'une fonction continue sur un segment admet des primitives sur ce segment.
Lui : non y'a 2 théorèmes là, déjà c'est quoi le nom de celui que vous venez de citer ?
Moi : euh... je vois pas.
Lui : ok le deuxième, celui qui vous permet d'écrire f(x)=h(x)-h(0) ?
Moi : ben h est une primitive donc... c'est un théorème ça ?
Lui : ok vous savez pas, on passe à la suite.
Moi : j'peux aussi dire que f possède une limite en + infini, en la comparant a x->1/x^2.
Lui : Attendez c'est une exponentielle, vous l'avez vu dans le cours que l'intégrale est convergente, a quoi ça sert votre comparaison avec la série de Riemann ?
Moi : ben c'est juste une façon de la démontrer, mais oui on peut dire que c'est évident.
Lui : Votre démonstration est juste, mais c'est étrange que vous la fassiez...
Moi : Ah ben... ok... Pour la deuxième, j'utilise le théorème de la dérivation sous le signe intégrale et- (le tiret ça veut dire qu'il me coupe)
Lui : j'vous arrête y'a plusieurs variables, x et u, faites attention.
(là j'me dis, euh... que se passe-t-il il veut ma peau la ?)
Moi : ben oui donc théorème de la dérivation sous le signe intégral, je vérifie que u->exp(-(x/cos(u))^2) est CM, et-
Lui : oui et y'a x aussi, et on dit pas cos mais COSINUS (dommage, j'avais fait gaffe a bien dire exponentielle partout, mais pas cos...)
Moi : ben oui j'y viens, et donc il faut que x->exp(-(x/cos(u))^2) soit continue, et on domine et pour la dérivation, on vérifie les mêmes hypothèses, mais sur la dérivée par rapport a x, et on domine.
(la j'vais vite mais jlui ai donné les hypothèses rédigées en bonnes et dues forme, pas à l'arrache comme ça).
Lui : bon ok on passe a la suite.
Question 2) on a déjà fait un truc du genre, mais hélas, je m'en souvenais pas -> FAIL
j'lui explique que j'ai tenté un changement de variable, en posant v=x/cos(u).
Lui : ça c'est du bidouillage, j'veux voir la fonction Fi. Et vous utilisez lequel des TROIS théorèmes sur les changements de variable ?
Moi : 3 théorèmes ?? euh moi j'utilise celui on fi est bijective, et si fi est un c1 difféomorphisme, la convergence d'une intégrale implique celle de l'autre.
Lui : c'est du n'importe quoi, ce théorème n'existe pas, vous pouvez vous mettre à jour sur le programme de maths de 2011
(Et la je suis mort intérieurement, j'ai compris que ce mec avait un problème)
Blanc d'une dizaine de secondes.
Lui : bon y'en a 2 que vous avez vu en sup, et un en spé, vous me les rappelez ?
Moi : euh... moi j'utilise fi surjective et-
Lui : ça c'est celui de spé, on en a pas besoin, ceux de sup y'en a un pour une fonction continue, et l'autre pour une fonction CM.
Moi : bon ben j'utilise celui pour une fonction continue sur le segment définie par les bornes de l'intégrale-
Lui : NON, y'a pas d'histoire de borne d'intégrale dans l'énoncé.
Moi : euh ok, juste continue sur un segment-
Lui : NON, un intervalle suffit.
Moi : ok sur un intervalle et-
Lui : bon allez donnez moi la formule
(alors je vois exactement de quelle formule il parle, j'la connais pas par coeur, mais j'connais la démo pour la retouver en 10 sec : F(fi(a))-F(fi(b))=int(f(x),x=fi(b)..fi(a))=int(fi'(x)*f'(fi(x)),x=b..a)
c'est la formule qu'il voulait, je commence par écrire d(fofi) pour avoir la dérivée, et hop en intégrant on a la formule, mais a la seconde ou j'ai écrit d(fofi) il m'a dit : encore vos bidouillages, donnez moi la formule directement, soit on connait le théorème, soit on le connait pas.
Je tente un bluff de mémoire, mais j'échange les bornes des deux intégrales.
Lui : ok vous le connaissez pas. On va pas y passez 2h, on passe a la suite.
Question 3) easy
Moi : j'ai pas eu le temps de le faire, mais je sais que ça fait sqrt(Pi)/2, j'vous le tape sur maple. (alors je tape lim(f(x),x=inf), je sais pas si sur notre maple c bien lim, bref ça marche, pas, j'me fais incendier sur le thème que c'est une instruction de base, je change en limit, et le inf en infinity, et je dis que de mémoire sur mon maple, lim ça marchait.
Lui : Mais j'vous ai dit de choisir votre version maple !!
Moi : elle y est pas.
Lui : m'ouais. d'autres méthodes.
Moi : euh, celle que vous attendez c'est surement avec le passage en polaire donc je calcule-
Lui : j'attends rien du tout plein de méthodes, et vous en avez peut être vu une autre, c'est ce que j'vous demande.
Moi : euh oui, donc je connais le passage en polaire.
Lui : expliquez rapidement.
vu et revu je passe les détails.
Q4) apres un petit fail sut la méthode a adopter, je décompose tout simplement en série entiere la fonction dans l'intégrale, je commence a lui expliquer qu'on peut intégrer terme a terme vu que c'est une série entiere, et donc ca reste une série entiere (une serie entiere converge normalement sur tout segment inclus a ]-R,R[, donc intégration terme a terme sur un segment, mais a peine je commence l'explication, il fait une tête bizarre, me dit que c'est évident.
Moi : donc les deux fonctions sont DSE, le produit est DSE, les deux rayons sont infinis, le rayon de conv est donc infini.
Lui : ok.
Q5) series(F(x),x=0,18) pas de souci
Q6) j'ai trouvé F'=xF + 1 je sais pas si c'est juste. Pour la relation entre les an, j'vais plus le temps, j'lui ai juste expliqué qu'on remplacait F par la série, on dérivait terme a terme, et on identifiait les coeff avec la puissance de x...
Et a plus sous le bus.
j'vous souhaite de pas tomber sur lui, j'ai oublié le numéro de la salle.
on donne :
f:=x->int(exp(-u^2),u=0..x) et g:=x->int(exp(-(x/cos(u))^2),u=0..Pi/4)
1) f et g sont elles régulières?
2) sans maple montrer que f^2 + g = cste
3)calculer lim(f(x),x=infinity) connaissez vous d'autres méthodes?
on donne F:=x->exp(x^2/2)*int(exp(-u^2/2),u=0..x)
4) montrer que F est décomposable en série entiere, sur quel intervalle?
5) on note an les coeff de la série entiere, calculer les 17 premiers termes
6)trouver une éque diff pour F, en déduire une relation entre les an
7) y'avait d'autres questions, mais je suis mort avant.
L'histoire :
j'entre dans la salle, il me dit que tout est à faire sur maple, mais si j'y arrive pas, je peux aller au tableau mais attention, interdiction d'effacer quoi que ce soit, et petit laïus sur le fait qu'il veut les énoncés des théorèmes parfaits, avec des phrases complètes, sujet verbe complément. Ah, et y'a plusieurs 4 versions de maple, prenez celle sur laquelle vous avez travaillé (mais y'a pas la notre c'est moche....) jusqu'ici je me méfie pas trop de ce qui m'attend.
Question 1) omg wtf c'est quoi régulière ? je connais les matrices régulières (inversibles), je connais la régularisée pour les série de fourrier, mais fonction régulière... Bon dans le doute, je me lance sur la piste des séries de fourrier, et montre que les fonctions sont continues, et même C1.
Vu les fonctions, j'vois pas l'interet de me faire sur maple, donc quand il arrive j'lui dis que j'l'ai pas fait sur maple (je compte lui expliquer en live), il me dit, ah bon, ben passez au tableau alors.
Moi : euh.. je vais juste parler de la continuité
Lui : ah ben on vous demande régulière, si vous parlez de la continuité c'est votre choix, c'est a vous de savoir ce que ça veut dire.
Moi : ok. Alors pour la premiere fonction exp(-u^2) continue donc possède une primitive que je note h, et f(x)=h(x)-h(0) donc f est C1.
Lui : c'est quoi les nom des théorèmes ?
Moi : euh, j'ai juste utilisé le théorème qui dit qu'une fonction continue sur un segment admet des primitives sur ce segment.
Lui : non y'a 2 théorèmes là, déjà c'est quoi le nom de celui que vous venez de citer ?
Moi : euh... je vois pas.
Lui : ok le deuxième, celui qui vous permet d'écrire f(x)=h(x)-h(0) ?
Moi : ben h est une primitive donc... c'est un théorème ça ?
Lui : ok vous savez pas, on passe à la suite.
Moi : j'peux aussi dire que f possède une limite en + infini, en la comparant a x->1/x^2.
Lui : Attendez c'est une exponentielle, vous l'avez vu dans le cours que l'intégrale est convergente, a quoi ça sert votre comparaison avec la série de Riemann ?
Moi : ben c'est juste une façon de la démontrer, mais oui on peut dire que c'est évident.
Lui : Votre démonstration est juste, mais c'est étrange que vous la fassiez...
Moi : Ah ben... ok... Pour la deuxième, j'utilise le théorème de la dérivation sous le signe intégrale et- (le tiret ça veut dire qu'il me coupe)
Lui : j'vous arrête y'a plusieurs variables, x et u, faites attention.
(là j'me dis, euh... que se passe-t-il il veut ma peau la ?)
Moi : ben oui donc théorème de la dérivation sous le signe intégral, je vérifie que u->exp(-(x/cos(u))^2) est CM, et-
Lui : oui et y'a x aussi, et on dit pas cos mais COSINUS (dommage, j'avais fait gaffe a bien dire exponentielle partout, mais pas cos...)
Moi : ben oui j'y viens, et donc il faut que x->exp(-(x/cos(u))^2) soit continue, et on domine et pour la dérivation, on vérifie les mêmes hypothèses, mais sur la dérivée par rapport a x, et on domine.
(la j'vais vite mais jlui ai donné les hypothèses rédigées en bonnes et dues forme, pas à l'arrache comme ça).
Lui : bon ok on passe a la suite.
Question 2) on a déjà fait un truc du genre, mais hélas, je m'en souvenais pas -> FAIL
j'lui explique que j'ai tenté un changement de variable, en posant v=x/cos(u).
Lui : ça c'est du bidouillage, j'veux voir la fonction Fi. Et vous utilisez lequel des TROIS théorèmes sur les changements de variable ?
Moi : 3 théorèmes ?? euh moi j'utilise celui on fi est bijective, et si fi est un c1 difféomorphisme, la convergence d'une intégrale implique celle de l'autre.
Lui : c'est du n'importe quoi, ce théorème n'existe pas, vous pouvez vous mettre à jour sur le programme de maths de 2011
(Et la je suis mort intérieurement, j'ai compris que ce mec avait un problème)
Blanc d'une dizaine de secondes.
Lui : bon y'en a 2 que vous avez vu en sup, et un en spé, vous me les rappelez ?
Moi : euh... moi j'utilise fi surjective et-
Lui : ça c'est celui de spé, on en a pas besoin, ceux de sup y'en a un pour une fonction continue, et l'autre pour une fonction CM.
Moi : bon ben j'utilise celui pour une fonction continue sur le segment définie par les bornes de l'intégrale-
Lui : NON, y'a pas d'histoire de borne d'intégrale dans l'énoncé.
Moi : euh ok, juste continue sur un segment-
Lui : NON, un intervalle suffit.
Moi : ok sur un intervalle et-
Lui : bon allez donnez moi la formule
(alors je vois exactement de quelle formule il parle, j'la connais pas par coeur, mais j'connais la démo pour la retouver en 10 sec : F(fi(a))-F(fi(b))=int(f(x),x=fi(b)..fi(a))=int(fi'(x)*f'(fi(x)),x=b..a)
c'est la formule qu'il voulait, je commence par écrire d(fofi) pour avoir la dérivée, et hop en intégrant on a la formule, mais a la seconde ou j'ai écrit d(fofi) il m'a dit : encore vos bidouillages, donnez moi la formule directement, soit on connait le théorème, soit on le connait pas.
Je tente un bluff de mémoire, mais j'échange les bornes des deux intégrales.
Lui : ok vous le connaissez pas. On va pas y passez 2h, on passe a la suite.
Question 3) easy
Moi : j'ai pas eu le temps de le faire, mais je sais que ça fait sqrt(Pi)/2, j'vous le tape sur maple. (alors je tape lim(f(x),x=inf), je sais pas si sur notre maple c bien lim, bref ça marche, pas, j'me fais incendier sur le thème que c'est une instruction de base, je change en limit, et le inf en infinity, et je dis que de mémoire sur mon maple, lim ça marchait.
Lui : Mais j'vous ai dit de choisir votre version maple !!
Moi : elle y est pas.
Lui : m'ouais. d'autres méthodes.
Moi : euh, celle que vous attendez c'est surement avec le passage en polaire donc je calcule-
Lui : j'attends rien du tout plein de méthodes, et vous en avez peut être vu une autre, c'est ce que j'vous demande.
Moi : euh oui, donc je connais le passage en polaire.
Lui : expliquez rapidement.
vu et revu je passe les détails.
Q4) apres un petit fail sut la méthode a adopter, je décompose tout simplement en série entiere la fonction dans l'intégrale, je commence a lui expliquer qu'on peut intégrer terme a terme vu que c'est une série entiere, et donc ca reste une série entiere (une serie entiere converge normalement sur tout segment inclus a ]-R,R[, donc intégration terme a terme sur un segment, mais a peine je commence l'explication, il fait une tête bizarre, me dit que c'est évident.
Moi : donc les deux fonctions sont DSE, le produit est DSE, les deux rayons sont infinis, le rayon de conv est donc infini.
Lui : ok.
Q5) series(F(x),x=0,18) pas de souci
Q6) j'ai trouvé F'=xF + 1 je sais pas si c'est juste. Pour la relation entre les an, j'vais plus le temps, j'lui ai juste expliqué qu'on remplacait F par la série, on dérivait terme a terme, et on identifiait les coeff avec la puissance de x...
Et a plus sous le bus.
j'vous souhaite de pas tomber sur lui, j'ai oublié le numéro de la salle.
