Math-Maple Guillaume

Je commence par Maple.
Bien sur, je tombe sur l'ordi qui plante (loi de Murphy...).
Donc je dois redémarrer deux fois (ça prend beaucoup de temps dans un oral de 30 min ...)
Sinon voilà l'exercice :
Il faut étudier f:(x,y)->(4*x^2+y^2)*exp(-(x^2+4*y^2))
-> Représentation graphique
-> Points critiques
-> Limite quand norm((x,y),2))->infinity. N’essayer pas directement, Maple ne vous servirait à rien. Il faut passer en polaire.
-> Étude des maximums
-> Une autres question un peu tordue.

Après, au tableau :
On définit Phi: (M,N)-> tr(tM*N) (le produit scalaire canonique pour les matrices, réelles ici)
1) Mq que c'est un produit scalaire ( ok...)
2) Là ça devient intéressant : Mq norm(M*N) <= norm(M)*norm(N)
3) Étude du cas d'égalité (il y avait des indications que j'ai oublié, en rapport avec des matrices orthogonales).





Éléments de solution : Présenté comme dans l'énoncé, le problème est difficile à résoudre. Il faut se placer dans une base orthogonale et utiliser des endomorphismes associés aux matrices. La transposition devient le passage à l'adjoint.
On trouve quelque chose comme norm(M*N)=tr(f*adjoint(f)*g*adjoint(g))
On pose h=f*adjoint(f)
h est autoadjoint donc il existe une base orthogonale de vecteurs propre (cf symétrique réelle en terme de matrice).
Après il faut réorganiser un peu tout et avec un Cauchy Schwarz bien placé, on trouve l'inégalité.
J'ai pas eu la temps d'aborder la question 3.

Quand tu dis "norm((x,y),2))->infinity" ça signifie que x et y tendent vers l'infini ?

Je sais pas comment tu as fait pour faire les DL pour l'étude des maxima mais l'instruction "mtaylor" de Maple permet de faire des DL pour des fonctions à multiples variables :

mtaylor(f(x,y)-f(0,0),[x,y],3); retourne le DL à l'ordre (total) 3 de f(x,y) en (0,0) soustrait de f(0,0)

Par contre l'instruction ne calcule que en (0,0), pas moyen de changer le point, il faut donc avoir recours à un petite astuce (de mon crû, y'a donc probablement moyen de faire plus simple) :
Pour calculer le dl en (-1,0) (un des points critiques qu'on trouve) :
c:=x+1:
mtaylor(f(c,y)-f(-1,0),[x,y],3);

cela retourne le calcul que l'on veut (en l'occurence on trouve un truc toujours négatif, on un a maximum local.

Pour la norme, il était écrit dans l'énoncer que l'on munit le plan de sa structure euclidienne canonique et c'est bien la norme qui tend vers l'infinie : sqrt(x^2+y^2)->infinity
On remarque que ça ne mène à rien d'exploitable donc on remplace x par r*cos(u) et y par r*sin(u)
sqrt(x^2+y^2)=r->infinity. C'est un problème à une variable que maple peut résoudre.
Sinon, je ne connaissait pas mtaylor mais c'est vrai que c'est utile pour ce problème. Il me semble qu'il n'était même pas sur la liste des principaux opérateurs qui est disponible devant l'ordinateur...

Effectivement, et on trouve un joli 0, comme le laissait supposer la représentation graphique avec un implicitplot3d...