ENSAM Math jury 2

E=R_2n-1[X]
F={P€E, P(1)=P(-1)=0}
G=Vect ( somme(X²ⁱ, i=0..n-1) , somme(X²ⁱ⁺¹, i=0..n-1) )

1- Montrer que F et G sont supplémentaires
2- Ecrire la matrice de la symétrie par rapport à F et parallèlement à G dans la base canonique de E.
3- Pour n=2, écrire cette matrice (je vois pas trop l'intérêt de cette question, ca doit pas etre ca...)


L'exo sur Maple, c'était une matrice 5x5 A assez horrible qui dépendait de a et b réels. Il fallait simplement étudier la diagonalisabilité de A en fonction des paramètres a et b.

Examinatrice étonnamment jeune, relativement sympa, n'aide pas beaucoup.

T'as fait comment exactement pour montrer que F et G étaient supplémentaires dans E ?

Montrer que F inter G est réduit au polynôme nul est facile...
Ensuite j'utiliserai bien les dimensions ; dim(G)=2, reste à montrer que dim(F)=2n-2 et c'est plus galère (enfin peut-être que ça l'est pas mais j'ai pas encore eu d'idée là dessus).

Sinon arriver à montrer que tout polynôme de R2n[X] se décompose bien comme il faut... et là non plus j'y arrive pas.
Une indication ?

Ok pour montrer que F inter G est réduit au polynome nul...
Ensuite il suffit de montrer que si la décomposition existe alors on a nécessairement une décomposition qu'on exhibe :
P€E, Q€F, R€G et si elle existe on a P=Q+R = Q + a*somme(X^(2i),i=0..n-1)+ b*somme(X^(2i+1),i=0..n-1)
Ensuite on détermine a et b : P(1)= (a+b)*n et P(-1)= (a-b)*n
Donc a=(P(1)+P(-1))/2n et b=(P(1)-P(-1))/2n
Et il faut donc prendre Q = P - (P(1)+P(-1))/(2n) * somme(X^(2i),i=0..n-1) - (P(1)-P(-1))/(2n) * somme(X^(2i+1),i=0..n-1)
et R = P - Q
On vérifie que ca suffit... evidemment puisqu'on s'est arrangé pour !!!

Ensuite on a la décomposition et pour la question suivane c'est gagné :
si P=Q+R alors s(P) = Q-R
Il suffit ensuite d'exprimer tous les polynome de la base canonique de E !! (ptite récurrence avec la tete de l'image de X^k que tu obtiens)

Bon finalement c'est plus qu'une indication ^^