Tout l'oral se déroule au tableau. Il commence par une préparation de 15 min sur l'exercice d'analyse suivi d'une présentation de 15 min. Ensuite, c'est la même chose pour l'algèbre.
Exercice d'analyse :
Soit a>0
On définit u(n)=1/n*sum(k/sqrt(n^2+k^a),k=0..n)
Déterminer lim(u(n),n=infinity).
Exercice d'Algèbre :
1) Déterminer toutes les matrices A à coefficients réels telles que A^2=0
2) Déterminer toutes les matrices A à coefficients réels telles que A^2+In
Éléments des solution :
Pour l'analyse : j'ai commencé par borner le suite. La minoration a permis de mettre en valeur le cas particulier a=2. L'examinateur m'a demandé de concentrer mes efforts sur ce cas particulier. Il faut remarquer une série de Riemann et le tour est joué. J'ai pas eu le temps de continuer l'exercice. C'est 15 min chrono en main !
Pour l'algèbre : A est nilpotente. Le problème se résout mieux en considérant l'endomorphisme f de E tel que A=mat(f).
L'énoncé devient fof=0. Autrement dit, l'image de f est inclues dans le noyau de f.
D'après le théorème du rang : dim(ker(f))=n-rg(f)=n-r.
Il faut construire une base de Im(f) que l'on complète en une base de ker(f) puis que l'on complète une seconde fois pour obtenir une base B de E.
Enfin on écrit f dans cette base de E. Pour les images des vecteurs de im(f) et ker(f), obtient des 0. Pour la dernière série de vecteurs, on peut se débrouiller pour obtenir un bloc diagonale. J'ai pas eu le temps de conclure.
Exercice d'analyse :
Soit a>0
On définit u(n)=1/n*sum(k/sqrt(n^2+k^a),k=0..n)
Déterminer lim(u(n),n=infinity).
Exercice d'Algèbre :
1) Déterminer toutes les matrices A à coefficients réels telles que A^2=0
2) Déterminer toutes les matrices A à coefficients réels telles que A^2+In
Éléments des solution :
Pour l'analyse : j'ai commencé par borner le suite. La minoration a permis de mettre en valeur le cas particulier a=2. L'examinateur m'a demandé de concentrer mes efforts sur ce cas particulier. Il faut remarquer une série de Riemann et le tour est joué. J'ai pas eu le temps de continuer l'exercice. C'est 15 min chrono en main !
Pour l'algèbre : A est nilpotente. Le problème se résout mieux en considérant l'endomorphisme f de E tel que A=mat(f).
L'énoncé devient fof=0. Autrement dit, l'image de f est inclues dans le noyau de f.
D'après le théorème du rang : dim(ker(f))=n-rg(f)=n-r.
Il faut construire une base de Im(f) que l'on complète en une base de ker(f) puis que l'on complète une seconde fois pour obtenir une base B de E.
Enfin on écrit f dans cette base de E. Pour les images des vecteurs de im(f) et ker(f), obtient des 0. Pour la dernière série de vecteurs, on peut se débrouiller pour obtenir un bloc diagonale. J'ai pas eu le temps de conclure.
Dernière édition par Guillaume M. le Ven 1 Juil - 4:32, édité 1 fois
