Encore une victime de la B559...

Même salle que David, et je pense même exam que lui et que Carbou : un mec qu'à l'air cool, avec des petites lunettes rondes... et qui donne ses exos en live !!

Voilà les miens :

Soit f une fonction de R dans R.
On a :
(1) f(1) = 1
(2) f(x+y) = f(x) + f(y)
(3) f(1/x)*f(x) = 1

Déterminez f.




Soit E un R-ev de dim n.
Soit f et g deux applications linéaires de E.

1. mq rg(fog) ≥ n - dim(Ker(f)) - dim(Ker(g))
2. Soit u nilpotente d'ordre p. Mq n/p ≤ dim(Ker(u)) ≤ n - p + 1

Bonus : démo th du rang. (ah...)

Solution du 1er exo.

On a f additive donc f(x) = f(x+0) = f(x) + f(0) donc f(0)=0.
Par ailleurs on a : f(x + (-x)) = f(0) = 0 = f(x) + f(-x) donc f(x) = - f(-x) donc f est impaire.

On raisonne sur N.
Pour n un entier naturel on a f(n+1) = f(n) + 1
Par récurrence on a donc f(n) = n.

On raisonne sur Z.
Comme f est impaire on a f(z) = z.

On raisonne sur Q.
Soit x rationnel. Il existe p et q des entiers relatifs tels que x = p/q.
f(1/p) = 1/f(p) d'après (3) et f(1/p) = 1/p d'après précédemment.
Puis f(q/p) = f(q*(1/p)) = q*f(1/p) d'après (2) donc f(q/p) = q/p.

On raisonne sur R.
Q est dans dans R donc tout élément de R est limite d'une suite de rationnel donc... pour tout réel x ; f(x)=x !!

Et oui, tout ça pour l'identité...



Pour le deux on utilise des théorèmes du rang à tour de bras et on s'intéresse à la restriction de f à Im(g)... Je vous refait pas la démo, j'ai pas le courage !
Ensuite on utilise l'inégalité (1) pour démontrer l'inégalité de gauche, et un th du rang pour celle de droite...



Pour la question bonus, j'ai juste dit qu'on utilisait le th de la base incomplète, qu'on complétait une base de Ker(f) en une base de E et on arrivait à montrer que le tout était libre, mais il a tiré une de ces tronches, j'vous dis pas...

Pour la dém du théorême du rang, c'est comme ça qu'on l'a fait cette année, il faut monter que la famille des vecteurs que tu rajoutes à ta base de départ est libre (on sait déjà qu'elle génère Imf).
Sinon j'ai ptt une idée de démo:
T'as E de dimension finie (au hasard on note n=dimE).
Donc comme Kerf est ssev de E, Kerf est de dimension finie (on la note p).
On prend G un supplémentaire de Kerf (valide car en dim finie, tout ssev possède des supplémentaires), on sait qu'il est isomorphe à Imf.
Tu choisis ensuite une base B adaptée à la décomposition E=Kerf⊕G.
Tu comptes les vecteurs: n= p + dimG et DimG=Dim(Imf) car G et Imf sont isomorphes,
et on a bien n= dim(Kerf) + rg(f)

Ouais ça doit marcher, ça revient un peu à la démo du cours d'ailleurs.
Dommage que j'ai pas ton talent d'impro, j'aurais peut-être gagné un petit point...

Ouais enfin mon talent d'impro chez moi devant mon ordi est légèrement différent de mon talent d'impro en oral devant un examinateur de physique méchant (légèrement)

Le vrai problème revient à démontrer que tout supplémentaire du noyau est isomorphe à l'image.

Ca on l'a fait dans le cours et c'est pas dur. Tu considéres l'application phi qui va de G dans Imf et qui à x associe f(x) et tu montres que c'est un isomorphisme.
L'injectivité c'est rapide et pour la surjectivité c'est pas beaucoup plus long.