maths 1 serie 2

ex 1
resoudre
(E) : y-x*y'= sqrt(x**2+y**2)
indication : on posera une inconnue auxiliaire et on cherchera une primitive de z'/(1+z**2)

ex 2
on se place dans E= R[X] munit du produit scalaire (P/Q) = int(Q(t)*P(t)*cos(t),t=-Pi/2..Pi/2)
1) montrer que c'est un produit scalaire
2) montrer qu'il existe une unique famille orthogonale (Pn,n entier) telle que tous les polynomes Pn soient unitaires.
3) Montrer que pour pour tt n de N et pour tt X: Pn(-X)= (-1)**n * Pn(X)
4) montrer que tous les Pn ont n racines distinctes 2 a 2.

solution

[ex 1 y=xz]

Ma "solution", enfin plutôt quelques petites questions...

Je pose ce que tu conseille (à la base j'avais tenté z = xy mais c'est vrai que y = xz c'est mieux :-) ) et je trouve :
z'(x) = sqrt(1+z²(x))/x
tu confirmes ?
Bon à mon avis c'est ça puisque ça fait écho à la primitive qui nous est demandée...
On est d'accord que arctan(z(x)) convient ?
du coup en intégrant la relation donnée plus haut on a du
arctan(z(x)) = ln(x)
d'où z(x) = tan(ln(x))

Puis y(x) = x*tan(ln(x))

Mais ça m'a l'air très étrange comme solution...


Pour l'exo 2 :
1 - linéarité et positivité de l'intégrale, et ça marche...
2 - Graham Schmidt puis pour l'uniité on en prend deux et on montre que la norme de Pi - Qi (pour tout i) est nulle donc Pi = Qi.
3 et 4 - Alors là par contre une petite aide serait la bienvenue...