Etant "en surbooking" sur mon jury, le coordinateur psi m'a d'abord fait faire le tour des jurys pour en trouver un qui n'était pas complet avant de me dire: "bon et bien vous passerez avec moi" 
Exo maple:
On donne f:=x-> abs(sin(x)**3)
1)Calculer les coefficients de Fourier de f
2)Montrer que Pi est limite d'une suite numérique et déterminer à partir de quel rang on a une précision de 10**-8
Exo en live:
On a E un |R-ev et f dans L(E).
On définit Tf:=g-> fog-gof
1) Mq Tf est un endomorphisme de E
2) Démontrer l'implication: Si f nilpotente, alors Tf est nilpotente et d"terminer l'indice de nilpotence de Tf.
Solutions:
Premier exo
1) f est paire donc les bk sont tous nuls. On calcule les ak, on a au dénominateur:
Pi(k**4-10k**2+9)
Pb en k=1,-1,3,-3
On calcule a1 et a3 (sachant que a-1=a1 et a-3=a3 par parité du cos) et on trouve (quel hasard!) 0
2) Alors point de thm de Parseval mais thm de la convergence normale de la série de fourier vers f, que l'on exprime en Pi/2 et on en déduit le résultat (on a en fait une série alternée)
Pour la précision, il faut utiliser la ppté de la série alternée qui donne un majorant du reste d'ordre n.
Deuxieme exo:
1) Clair par associativité de la composition
2) On supp l'hyp, soit p l'indice de nilpotence de f
On calcule Tf**2, Tf**3 pour se donner une idée (2 erreurs de calculs, foutues compositions...
) et finalement on trouve une formule de récurence (que l'on démontre par récurence un peu comme la formule de Leibniz):
Tf**n(g)= sum( binomial(k,n)*f**kogo(-f)**(n-k),k=0..n), (pas sur pour les coefficients du binôme) et on remarque que pour n=2*p, Tf**n est nulle
Exam: sympa quoique blasé et de façon assez bizarre donnait l'impression de ne pas survoler le sujet qu'il m'avait donné (il m'a demandé 2 fois de lui expliquer pourquoi Tf était nilpotente), mais c'était sans doute une façade
Exo maple:
On donne f:=x-> abs(sin(x)**3)
1)Calculer les coefficients de Fourier de f
2)Montrer que Pi est limite d'une suite numérique et déterminer à partir de quel rang on a une précision de 10**-8
Exo en live:
On a E un |R-ev et f dans L(E).
On définit Tf:=g-> fog-gof
1) Mq Tf est un endomorphisme de E
2) Démontrer l'implication: Si f nilpotente, alors Tf est nilpotente et d"terminer l'indice de nilpotence de Tf.
Solutions:
Premier exo
1) f est paire donc les bk sont tous nuls. On calcule les ak, on a au dénominateur:
Pi(k**4-10k**2+9)
Pb en k=1,-1,3,-3
On calcule a1 et a3 (sachant que a-1=a1 et a-3=a3 par parité du cos) et on trouve (quel hasard!) 0
2) Alors point de thm de Parseval mais thm de la convergence normale de la série de fourier vers f, que l'on exprime en Pi/2 et on en déduit le résultat (on a en fait une série alternée)
Pour la précision, il faut utiliser la ppté de la série alternée qui donne un majorant du reste d'ordre n.
Deuxieme exo:
1) Clair par associativité de la composition
2) On supp l'hyp, soit p l'indice de nilpotence de f
On calcule Tf**2, Tf**3 pour se donner une idée (2 erreurs de calculs, foutues compositions...
) et finalement on trouve une formule de récurence (que l'on démontre par récurence un peu comme la formule de Leibniz):Tf**n(g)= sum( binomial(k,n)*f**kogo(-f)**(n-k),k=0..n), (pas sur pour les coefficients du binôme) et on remarque que pour n=2*p, Tf**n est nulle
Exam: sympa quoique blasé et de façon assez bizarre donnait l'impression de ne pas survoler le sujet qu'il m'avait donné (il m'a demandé 2 fois de lui expliquer pourquoi Tf était nilpotente), mais c'était sans doute une façade
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