EO Guillaume

Pour la question manquante :
Une matrice antisymétrique ne possède que des valeurs propres imaginaire pure.
En effet : f*=-f soit a une vp réelle de f et x un vecteur propre associé, donc <f(x)|x>=-<x|f(x)>
Donc comme le produit scalaire est symétrique : <f(x)|x>=a.||x||^2=0 donc a=0
(cela suffisait pour l'exo car -1 n'est pas vp de A donc ker(A+I)=0)
de plus A^2 est symétrique réelle donc diagonalisable donc les vp de A au carré sont réelles donc les valeurs propres de A sont imaginaires pures.

Ha, ouais, c'est joli
J'avais effectivement réfléchi avec le polynôme caractéristique et on montre que
det(A+I)=(-1)^n*det(tA-I)=(-1)^n*det(A-I) et ainsi que 1 est vp ssi -1 l'est mais je ne voyais pas comment continuer. Ta méthode permet de conclure sans soucis !!

Moi j'ai fait comme ça. Dites moi si c'est juste svp...

J'ai fait par l'absurde: tu supposes que 0 est valeur propre, donc il existe X non nul tel que (In+A)X=0. Tu développes et tu multiplies à gauche par tX (transposée de X). Ca te donne tXX+tXAX=0. Ensuite tu fais la transposée de ton expression et t'obtiens tXX-tXAX=0. Et t'en déduis donc en sommant les deux expressions que tXX=0, c'est à dire que X=0 =>contradiction.
Donc 0 n'est pas valeur propre, donc In+A est inversible.

Et au passage: cet exo c'est le premier exo des ccp PSI dans l'officiel de la taupe qu'on a eu cette année....

tXX étant un réel (produit scalaire ) le passage à la transposé me chagrine.

Pourquoi ? Après tout un nombre est une matrice carré d'ordre 1, donc égale à sa transposée...

Par contre Fabien, le fait que 0 ne soit pas valeur propre, osef, c'est 1 qui ne doit pas l'être, non ?

Pourquoi? Il faut montrer que 0 n'est pas valeur propre de A+In pour montrer que A+In est inversible non?

Ah ouais ptin pardon, j'suis pas réveillé...

Tu peux aussi dire que 1 n'est pas valeur propre de A et en déduire que A+I est inversible