Math A equa' diff + adjoint.

Exercice 1
Soit l'equation (Ec) : (1-x**2)y'-2y=c ou c est une constante réelle quelconque.
y est défini sur ]-1;1[
on notera Sc l'ensemble des solutions de Ec

1) Solution de Ec?
2) À quelle condition Sc est il un espace vectoriel?
3) Soit S l'union de tous les Sc lorsque c décrit R
Montrer que S esr un espace vectoriel.
4)Quelle est la dimension de S ? et donner une base de S.


Exercice 2

Soit E un e-v tel que dim(E)=n
Soit u un endomorphisme de E positif c'est-à-dire que pour tout x de E:
<u(x),x> est positif.
On notera u* l'adjoint de u

1) montrer qu'il existe un unique endomorphisme symétrique positif de E noté v tel que l'on ait:
v•v=u•u*=u*•u
2)u est désormait symétrique.
On note M(u)=trace(v)
Montrer que M(u)=0 <=>u=0
3) on prend u1 et u2 deux endomorphisme de E qui commutent.
Montrer que M(u1+u2) est inférieur ou égal a M(u1)+M(u2)

Pour l'exercice 2 l'indication de l'examinateur est: observez bien les valeurs propres..

L'examinateur M Rambour est plutôt cool. Genre tranquil mais que vous lui disiez une grosse conner** ou la vérité il répondra toujours par "ok"
L'élève précédent a eu un exercice sur des hyperplans et une hyperbolle mais je n'ai pas trop suivi..

Pour l'exo je pense avoir trouvé. Tu raisonnes avec les matrices :

Tu associes M matrice à l'endomorphisme à u

u.u* <-> tM.M

tM.M est symétrique dc il existe P tq tM.M=PDP-1

comme u est positif, ses valeurs propres sont positives, donc les valeurs propres de u.u* aussi, donc
tu peux écrire D=D'.D' avec D' matrice diagonale des racines carrés des valeurs propres de D

d'où : tM.M=PD'P-1.PD'P-1

et voila le tour est joué : V=PD'P-1
=D

ouai c'est ça et après il faut voir que les valeurs propre de v c'est les valeurs absolues des valeurs propres de u..
ce qui est utile pour la suite de l'exercice