ex1
soient a,b et c trois racines complexe du polynôme X^3+X^2+1
on considère le syteme d'equations suivant 'inconnues x,y,z:
x+a.y+a^2.z=a^4
x+b.y+b^2.z=b^4
x+c.y+c^2.z=c^4
indication donnée par l'énoncé: on pensera à utiliser le polynôme X^4-z.X^2-yX-x
(rq je ne sais plus exactement si c a chaque fois x + a.y+a^2.z=a^4 ou x - a.y+a^2.z=a^4 )
ex2
Soient A une matrice nilpotente (matrice n.n). On notera N lensemble des matrices nilpotentes de coté n.
1) montrer: A^n=o si et seulement si A nilpotente
2) l'application qui a A associe A+A^2 est elle surjective de Mn(R) dans Mn(R)
3) Montrer que l'application qui a x associe x+x^2 est un Cinfinidifferomorphisme au voisinage de l'origine .
4) En deduire que lapplication qui a A associe A +A^2 et une bijection de N dans N .
soient a,b et c trois racines complexe du polynôme X^3+X^2+1
on considère le syteme d'equations suivant 'inconnues x,y,z:
x+a.y+a^2.z=a^4
x+b.y+b^2.z=b^4
x+c.y+c^2.z=c^4
indication donnée par l'énoncé: on pensera à utiliser le polynôme X^4-z.X^2-yX-x
(rq je ne sais plus exactement si c a chaque fois x + a.y+a^2.z=a^4 ou x - a.y+a^2.z=a^4 )
ex2
Soient A une matrice nilpotente (matrice n.n). On notera N lensemble des matrices nilpotentes de coté n.
1) montrer: A^n=o si et seulement si A nilpotente
2) l'application qui a A associe A+A^2 est elle surjective de Mn(R) dans Mn(R)
3) Montrer que l'application qui a x associe x+x^2 est un Cinfinidifferomorphisme au voisinage de l'origine .
4) En deduire que lapplication qui a A associe A +A^2 et une bijection de N dans N .
