Exo Robin (gros fail...)

A --
Soit l'equation y'(x) = a(x)*y(x) + b(x) avec a et b deux fonctions continues de R dans R.
1. Montrez qu'il existe une unique solution de cette équation vérifiant y(x0) = y0
2. Montrez que les courbes intégrales sont concourantes ou confondues.
3. avec a(x) = -exp(x²) et b(x)=0 montrez que la limite de la solution quand x tend vers (plus ou moins) l'infini est 0.
4. Avec a et b 2*Pi périodique, donnez une CNS sur a,b et y0 pour que y soit de même périodicité.

B --
Soit l'équation y''(x) = a(x)*y(x)
1. Montrez qu'il existe une unique solution vérifiant y(x0) = y0 et y'(x0) = y1.
2. On suppose a(x) strictement négative sur R. Montrez que y s'annule au moins une fois.
3. On suppose a(x) strictement positive sur R. Montrez que y est nulle ou qu'elle s'annule plus d'une fois.



Examinateur (Jury 2) : un homme, quadra, a l'air plutôt sympa au premier abord et qui va se coller à la fenêtre après vous avoir dit bonjour... Du coup vu que lors de ma préparation j'avais lu "parallèle" au lieu de "concourante" (le voilà le gros fail !!) du coup j'ai bloqué à la 2ème question, et j'ai pas non plus su faire les deux dernières. Bref j'ai presque rien foutu, youpiii

La solution... de la première partie, j'ai pas eu le temps de toucher à la seconde...

1. J'ai fait toute la résolution du cours, apparemment citer le th de Cauchy-Lipschitz suffisait.
2. On prend deux solutions y1 et y2.
Les tangentes en x0 on pour eq y = y1'(x0)*(x-x0) + y0 et y = y2'*(x-x0) + y0.
Peut remplacer y1'(x0) par a(x0)*y(x0) + b(x0).
On résoud alors le système en x et on trouve un x qui ne dépend pas de y0. On réinjecte dans y (avec la formule de la résolution complète du cours donnée plus haut) et cela donne un y qui ne dépend pas de y0.
Conclusion on a une famille de droite passant toutes par un même point ; elles sont concourrantes.
3. On remplace a(x) = -exp(x²) et b=0 dans la solution générale et on voit de suite que en +/-oo y tend bien vers 0.
4. On écrit y(2*Pi) = y(0) et on observe que pour avoir l'égalité il fait int(a(x),x,0,2*Pi) = 0 et int(b(x)*exp(int(a(x),x,0..2Pi)),x,0..2Pi) = 0.

Deuxième partie : j'ai juste eu le temps de glisser un petit Cauchy Lipschitz pour l'eq du deuxième ordre...