Exercice 1 :
Soit U l'ensemble des nombres complexes de module.
On recherche l'ensemble des polynômes à coefficients réels tels P(U) soit inclus dans U.
1/ Donner 4 polynômes qui conviennent.
2/ On définit P=sum(a(k)*X^k,k=0..n) et Q=sum(a(k)*X^(n-k),k=0..n) avec a(0)*a(n)<>0
On suppose que P convient.
(1) Montrer que P(X)Q(X)=X^n
(2) Montrer que nécessairement n=0
3/Montrer que P(X)=+-X^p
Exercice 2 :
Soit L une forme linéaire sur Mn(R)
1/ Montrer qu'il existe une unique matrice A de Mn(R) tel que pour toute matrice M de Mn(R) :
L(M)=tr(AM)
J'ai bien géré le premier exercice mais ensuite l'examinateur m'a laissé tourner en rond sur cette question avec des grosses sommes dans tous les sens.
2/ Une histoire d'hyperplan. Il me semble que c'était : soit H un hyperplan de Mn(R). Montrer qu'il existe A (unique ?) tel que :
Pour tout M appartenant à Mn(R) : M appartient à H <=> tr(AM)=0
Soit U l'ensemble des nombres complexes de module.
On recherche l'ensemble des polynômes à coefficients réels tels P(U) soit inclus dans U.
1/ Donner 4 polynômes qui conviennent.
2/ On définit P=sum(a(k)*X^k,k=0..n) et Q=sum(a(k)*X^(n-k),k=0..n) avec a(0)*a(n)<>0
On suppose que P convient.
(1) Montrer que P(X)Q(X)=X^n
(2) Montrer que nécessairement n=0
3/Montrer que P(X)=+-X^p
Exercice 2 :
Soit L une forme linéaire sur Mn(R)
1/ Montrer qu'il existe une unique matrice A de Mn(R) tel que pour toute matrice M de Mn(R) :
L(M)=tr(AM)
J'ai bien géré le premier exercice mais ensuite l'examinateur m'a laissé tourner en rond sur cette question avec des grosses sommes dans tous les sens.
2/ Une histoire d'hyperplan. Il me semble que c'était : soit H un hyperplan de Mn(R). Montrer qu'il existe A (unique ?) tel que :
Pour tout M appartenant à Mn(R) : M appartient à H <=> tr(AM)=0
