Mathématiques 2

Salut tout le monde,

Exercice 1:

Soit sigma une permutation de X={1,2,3} dans X.
On définit une matrice P(sigma):
P(sigma)_i,j=1 si i=sigma(j)
P(sigma)_i,j=0 sinon.

La famille des 6 matrices P(sigma) est-elle libre ?
Calculer son rang.

Exercice 2:
Soit une matrice A:
0

i	1	0	0
0	i	0	0
0	0	-i	0
0	0	0	-i

(je sais pas pourquoi y a un 0 au-dessus du tableau)

a) Montrer que le polynôme caractéristique est à coefficients réels.
b) Montrer qu'il n'existe pas de matrice B appartenant à Mn(R) semblable à A.
c) Déterminer l'idéal des polynômes annulateurs et retrouver le résultat précédent.

Remarque: pour la question c), l'examinateur n'a pas voulu commencer la question tout de suite et m'a d'abord poser plusieurs questions de cours sur la notion d'idéal et sa structure.

Nous avons passé la question b).

Examinateur sympa.

Exo 1 :
Elle est non libre (on peut trouver une relation les liant, en cherchant un peu...)
Par contre le rang, bof, j'sais pas trop.


Exo 2 :
J'trouve (1+x²)² comme polynôme caractéristique.
Ensuite j'dois avouer qu'la question b j'trouve pas non plus.
J'pense qu'il faut raisonner par l'ansurde, supposer que B existe et voir ce qu'on peut en dire...
Si B existe alros tr(B) = 0 et det(B) = 1, et il existe P telle que B = P-1*A*P mais bon, rien de super concret là dedans...

Pour la question 3 t'as fait comment pour déterminer l'idéal ? Déjà tu cherches le polynôme minimal, non ? J'trouve X(1+iX+X²+iX^3) mais après j'sais pas quoi en faire...