ENSAE salle 12 serie 3 tsao

Exo préparé 15 min :
f et g deux fonctions C1(I) avec I intervalle inclus dans R, telles que pour x € I, f(x)*g(x)=x et f'(x)*g'(x)=1. Determiner f et g ainsi que I.

Exo en live :
u endormorphisme de E, montrer que si a valeur propre de u, alors Ker(u-a*i)(+) Im (u-a*i) = E

Exo de géometrie.
On considère la courbe en polaire r=theta
Dessiner la, et quelle propriété peut on dire concernant une droite d'equation theta=theta0 et les tangentes aux points d'intersection de la courbe et de cette droite ?

Exam assez agé avec des jolies lunettes ambrées, qui ne parle pas tres fort, mais qui laisse dire des jolies âneries !!!

Pour l'exo 1 t'as fait comment au juste ?
J'ai commencé par dériver l'équation 1 puis j'ai remplacé g et g' par des trucs en f et f' et considérant que sur I f(x)<>0 et f'(x)<>0...
J'aboutis à l'équadiff :
x*f'(x)² + f(x)² = f(x)*f'(x)

et là j'ai envie de sortir Maple quoi, parce que résoudre ça, j'vois pas...

Sinon pour l'exo de géo, les tangentes sont toutes parallèles c'est ça ?


Et pour l'exo d'algèbre j'arrive même pas à montre qu'ils sont en somme directe, c'est lamentable

Pour le premier exo, on a f*g - int(f'g') = cste
Faut voir si on peut exploiter, bof...
en revanche, robin pour ton histoire de f<>0 sur I, je suis pas sur que c'est la bonne solution tu commences déjà à poser des sous intervalle mais quand f = 0 tu fais quoi? etc...
Je dis ça à cause d'un autre exo ou j'avais commencé pareil

Quoique je dis ça mais je vien d'avoir une idée.
Si f et/ou g s'annulent ça ne peut être qu'une fois en x=O et nulle part ailleurs, tandis que f' et g' ne s'annulent jamais, elles sont donc str. monotones et de même signe.
De même, en x>0 elles sont de signe contraire et en x>0 de même signe, INDICE SUPPLEMENTAIRE, si on suppose par l'absurde que f ET g s'annulent en 0 gros problème avec les conditions pour x<0 et x>0 (eh oui puisqu'elles sont strictement monotones elles seraient soit toujours de signe contraire soit de signe opposé !)
Supposons donc f ne s'annule pas (f et g jouent le même rôle), là on peut revenir à ton idée robin, t'as même plus à prendre certains intervalles !
alors là ça me donne :
f'f -xf'^2 = f^2, on revient au point de départ avec des trouvailles en plus...

Question pour l'exo 2, on est en dimension finie ?
En tout cas je trouve cela bizarre parce que :
en posant v = u-a*Id, alors rg(v)>n où n = dimE car 0 est valeur propre.
Ca voudrait dire que TOUS les endomorphismes non inversibles auraient leur noyau et leur image supplémentaires dans E?

Aors oui pour le premier exo il faut bien evidemment se ramener a l'equation non lineaire dont vous avez parlé x*f'(x)² + f(x)² = f(x)*f'(x).
Puis il suffit de trouver un changement de variable "astucieux" du genre F= f'/f
on a une equation du second degré et du coup pour obtenir des solutions, on restreint l'intervalle I qui ne contenait déja pas 0 (d'apres l'hypothese de départ et comme vous l'avez vu) Ensuite on a plusieurs solutions qui dépendent de l'intervalle que l'on choisit !
Ensuite il m'a posé une question : est ce qu'on peut prolonger les solutions en 0, mais j'ai pas su répondre et lui mme avait l'air embêté parce qu'on a du faire apparaitr une primitive d'un truc qu'on connait pas et qu'on a nommé A(x) (c'est lui qui m'a dit nommez cette primitive A(x) en voyant que j'arrivais pas à la calculer...)
Pour l'exo of algebra, j'ai un peu galéré surtout que c'etait en live et il m'a fait dire pas mal de trucs (vrais comme faux), mais je comprennais pas vraiment ce qu'on faisait. J'ai pas donné une super bonne impression sur l'algèbre... Mais j'ai appris qc : pour un endomorphisme diagonalisable, on peut l'ecrire comme une combinaison lineaire de projecteurs de E sur chacun des sous espaces propres (qui sont en somme directe) avec comme scalaire en facteur chaque valeur propre !!!

pour l'exo de géometrie, oui c'est ca que je lui ai dis trop content de le savoir, mais il m'a demandé de le montrer... Du coup réflexion.... et en notant v l'angle entre la droite et les tangentes (on doit donc montrer qu'il est constant), on a tan(v)=r(theta0)/r'(theta0)=theta0. Donc v est constant !!!

Juste une petite question, j'ai peur de passer pour un débile, mais je prends mon courage à deux mains et je me lance:
Pour ta courbe en polaire, elle ressemble à quoi? Pour moi on a un truc dans le genre escargot (t'as r qui augmente en même tps que θ tourne) mais je l'ai fait à la TI et elle me donne un truc qui ressemble fort à une hyperbole du genre x² . Qu'en pensent Maple et les spécialistes des courbes en polaire?

Le spécialiste en courbe en polaire que je suis (^^) pense que c'est une spirale (ce qui est d'ailleurs le cas, tu as raison). sur la TI tu vois juste le début j'imagine, ca doit sortir du cadre !

Bah c'est effectivement très bizarre, parce que ca me met une parabole quand je fais zoom auto, mais à patir de 2Pi, elle est supposée repartir de 2Pi justement, ce qui n'est pas vraiment le cas sur ma TI

Jette ta TI

Mets la en radian.

Ha..........