Salle PAV1, examinateur métis, la quarantaine, assez speed et sympa.
Exercice 1:
Pour (Un)n=>1 une suite de réels strictements positifs tels qu'il existe a un réel tq U(n+1)/Un = 1 - a/n + O(1/n²),
alors on admet qu'il existe k>0 tq Un ~ k/n^a.
1) Donner un équivalent de Un=n^n /(n! e^n).
Nature de la série Un.
2) Equivalent de n!.
Exercice 2 :
f: R[X] -> R[X]
P -> P(X+1) - P(X)
1) Mq f linéaire et déterminer Kerf.
2) Mq Rn[X] stable par f.
3) Déterminer Kerfn et Imfn (où fn: Rn[X] -> Rn[X], P->P(X+1)-P(X)).
Puis sur les quelques minutes restantes,
convergence et signe de int(t sint / (1+t²), t=pi à +oo) ? (pas eu le temps de faire)
Indications :
Ex 1: se servir de la propriété (DL de U(n+1)/Un)
Ex 2: pour le Ker, utiliser la périodicité d'une application dans le noyau et sa classe C1 (th de rolle par ex) puis écrire la matrice de fn ds la base canonique permet de voir une base de Imfn.
Exercice 1:
Pour (Un)n=>1 une suite de réels strictements positifs tels qu'il existe a un réel tq U(n+1)/Un = 1 - a/n + O(1/n²),
alors on admet qu'il existe k>0 tq Un ~ k/n^a.
1) Donner un équivalent de Un=n^n /(n! e^n).
Nature de la série Un.
2) Equivalent de n!.
Exercice 2 :
f: R[X] -> R[X]
P -> P(X+1) - P(X)
1) Mq f linéaire et déterminer Kerf.
2) Mq Rn[X] stable par f.
3) Déterminer Kerfn et Imfn (où fn: Rn[X] -> Rn[X], P->P(X+1)-P(X)).
Puis sur les quelques minutes restantes,
convergence et signe de int(t sint / (1+t²), t=pi à +oo) ? (pas eu le temps de faire)
Indications :
Ex 1: se servir de la propriété (DL de U(n+1)/Un)
Ex 2: pour le Ker, utiliser la périodicité d'une application dans le noyau et sa classe C1 (th de rolle par ex) puis écrire la matrice de fn ds la base canonique permet de voir une base de Imfn.
