Les sujets de Monsieur Loiseau

(Maintenant qu'il les a donné, ils ne tomberont plus, bandes de malins, mais bon, ça fait un bon entrainement)

Voici donc une quinzaine de sujet tout droit sortis des classeurs de Monsieur Loiseau.
Ce sujet se veut un sujet d'aide ; faites un peu vivre ce forum !! Postez vos idées, ou carrément votre solution, ou bien posez vos questions :-)



















Enjoy !

Je ne sais pas pour vous mais je n'arrive pas à voir les photos

Je vous donne le 14 que j'ai eu en colle:
1) symétrie hermitienne par définition du conjugué, linéarité à droite par linéarité de la dérivation, semi-linéarité à gauche par la symétrie hermitienne.
Positive: on voit apparaitre une somme de valeurs absolues au carré
définie positive: pout tout k la dérivée k-iéme en ak est nulle, en particulier la dérivée n-iéme pour P de degré n, ce qui est absurde si P est non-nulle.
2) Graham-Schmidt en dimension finie et on regarde le 1er vecteur de la base qui doit être de module 1
3) par récurrence sur i avec j fixé
4) On utilise la formule de taylor pour les polynômes et on simplifie la somme.

Et moi je donne le 13 rapidement (plus trop le temps là !!)

ensemble de def : on peut montre que l'intégrale est def pour x>0, par contre pour x<0 c'est pas évident, M. Loiseau m'a dit de laisser tomber et de bosser sur R+.
continuité par le th habituelle, sur R+.
dérivabilité par le th habituelle, sur R+* (la domination se fait sur un segment [a,+oo[ avec a>0 donc f n'est pas derivable en 0.
Sur R+* on calcule f'(x). Par intégration par partie en retrouve f(x) avec un facteur près et à un second membre près. On tombe sur une equadiff du premier ordre avec second membre, la solution est f(x) = x*arctan(x) + k/x
on détermine k à l'aide de lim(f(x)) en +oo (de mémoire, 0)