Exercice CCP PEB

Pierre-Benoît ENEE
PSI

EXO 1
1) Justifier l'existence de I = intégrale de 0 à l'infini de x/(sh(x))dx
2) Montrer que I = somme(n>=0)(2/(n+1)^2)

EXO 2
Soit A matrice carrée d'ordre n à coeffs réels non nulle et symétrique
Montrer que (tr(A))^2/tr(A^2) =< rg(A)

Exo 1 : faux problème en 0 (prolongeante par 1)
En infinity : x/sh(x)=2x/(exp(x)-exp(-x)) équivalent en infinity à 2x.exp(-x) qui converge par IPP

Pour la somme je vois pas du tout... Indication ou des idées ?

Exo 2 : A sym réelle donc diagonalisable (notons D=diag(a[1],...,a[r],0,..,0) une matrice semblable à A). On note r le rg de A.
A^2 est semblable à D^2 donc tr(A)=tr(D) et tr(A^2)=tr(D^2)

Tr(D)^2=(sum(1.a[i],i=1..r))^2=<sum(1^2,i=1..r).sum((a[i])^2,i=1..r) par l'inégalité de cauchy swartz
=<r.tr(D^2)
Fin de la preuve

Pour la somme, dans l'exo 1.

On écris d'abord x/sh(x) sous la forme d'une somme de série, et on utiliseras ensuite le th d'intégration termes à termes.

Alors ; étape 1.
Pour x>0 ;
x/sh(x) = x * 2/(exp(x)-exp(-x)) = 2*x/exp(x) * (1/(1 - exp(-2x)))

et 1/(1-exp(-2x)) = somme (exp(-2nx)) pour n de 0 à l'infinity

d'où x/sh(x) = 2*x*somme(exp(-2(n+1)x),n=0..infinity)

D'où I = 2*int [x*somme(exp(-2(n+1)x),n=0..infinity),x=0..infinity]

Etape 2.
On utilise le th d'intégration terme à terme (la flemme de justifier, ma la série converge, est continue et on a convergence de la série des intégrale qu'il faut, vérifiez le à la main...)

On a donc I = 2*somme[int(x*somme(exp(-2(n+1)x)),x=0..infinity)]

Et on calcule l'intégrale par IPP, on trouve bien que celle ci vaut 1/4(n+1)^2

D'où effectivement I = 1/2(n+1)^2