Exercice 1 (MAPLE)
soit fa(x)=(2ax+x²+1)*exp(arctan(x²+ax+1))/rac(1+x²)
1)expliciter fa et la tracer (pour plusieurs a différents)
2)montrer que fa a 2 points fixes
3)étudier les branches infinie
Exercice 2 (LIVE)
f:x->w^x (^ représente le produit vectoriel)
R3->R3
1)montrer que f est un endomorphisme de R3
et (x,y) dans (R3)² on a (f(x),y)=-(x,f(y))
2)calculer le poly caractéristique de f, diagonalisable ?
3)soit g=(id-f)o inverse(f-id), interprétation géométrique de g
Réponses
Ex1:
1)fonction de 2 variables : f:=(x,a)->...
pour tracer sur le même graphe : plot(seq(f(x,k),k=-10..10),x=-2..2,x)
2)pour les points fixes : solve(f(x,a)=f(x,b),[x,a,b]) on voit que le résultat de x
est indépendant de a ou b, x=1/rac(2) ou x=-1/rac(2)
3)On effectue un DL en l'infini avec la commande series : les 2 premiers termes donnent l'eq de l'asymptote et le signe du troisième la position relative courbe/asymptote (séparer le cas a=0)
Ex2:
1)application linéaire batati batata... et pour l'égalité ça découle d'une propriété du produit mixte
2)expliciter la matrice de f dans une base judicieusement choisie (w,a,w^a) avec a orthogonal à w. D'où f(a)=w^a, f(w)=0 et f(w^a)=-norme(w)²*a
=> polycarac : P(X)=x(x²+norme(w)²) et donc sp(f)={0} (dans R) -> f non diagonalisable (car f n'est pas semblable à la matrice nulle)
3)inverser mat(f+id) (avec la formule de la commatrice) et on s’aperçoit en faisant t(mat(g))*mat(g)=I que g est une rotation (en normant les vecteurs bien sur)
soit fa(x)=(2ax+x²+1)*exp(arctan(x²+ax+1))/rac(1+x²)
1)expliciter fa et la tracer (pour plusieurs a différents)
2)montrer que fa a 2 points fixes
3)étudier les branches infinie
Exercice 2 (LIVE)
f:x->w^x (^ représente le produit vectoriel)
R3->R3
1)montrer que f est un endomorphisme de R3
et (x,y) dans (R3)² on a (f(x),y)=-(x,f(y))
2)calculer le poly caractéristique de f, diagonalisable ?
3)soit g=(id-f)o inverse(f-id), interprétation géométrique de g
Réponses
Ex1:
1)fonction de 2 variables : f:=(x,a)->...
pour tracer sur le même graphe : plot(seq(f(x,k),k=-10..10),x=-2..2,x)
2)pour les points fixes : solve(f(x,a)=f(x,b),[x,a,b]) on voit que le résultat de x
est indépendant de a ou b, x=1/rac(2) ou x=-1/rac(2)
3)On effectue un DL en l'infini avec la commande series : les 2 premiers termes donnent l'eq de l'asymptote et le signe du troisième la position relative courbe/asymptote (séparer le cas a=0)
Ex2:
1)application linéaire batati batata... et pour l'égalité ça découle d'une propriété du produit mixte
2)expliciter la matrice de f dans une base judicieusement choisie (w,a,w^a) avec a orthogonal à w. D'où f(a)=w^a, f(w)=0 et f(w^a)=-norme(w)²*a
=> polycarac : P(X)=x(x²+norme(w)²) et donc sp(f)={0} (dans R) -> f non diagonalisable (car f n'est pas semblable à la matrice nulle)
3)inverser mat(f+id) (avec la formule de la commatrice) et on s’aperçoit en faisant t(mat(g))*mat(g)=I que g est une rotation (en normant les vecteurs bien sur)
