EO equation derivées partielles + géométrie

Salle PAV1

Exo 1: résoudre dans R+*: x*df/dx = y*df/dy

Exo 2: déterminer l'image de la droite d'équation x=y=0 par la rotation d'angle Pi/6 et d'axe la droite d'équation x=y=z

Soluce (embryon de soluce) :

1- Je sais pas quoi faire d'autre que d'essayer des fonctions un peu au pif, pour l'instant la seule que j'ai et qui fonctionne c'est f : x,y -> k*x*y
mais il doit y en avoir plein d'autres qui fonctionnement, ou alors doit y avoir un moyen de démontrer que seule celles là fonctionnent mais là j'sais pas faire...


2- Le seul point fixe, s'il existe, est l'intersection des deux droites (en gros l'axe de rotation c'est la première bissectrice 3D et la droite qu'on fait tourner c'est l'axe Oz dans le repère cartésien, si j'me suis pas planté). Donc le seul point fixe c'est l'origine, et notre droite image passe pas celui ci.
Il nous suffit donc d'avoir un vecteur directeur de la droite image, pour cela on prend le vecteur (0,0,1) directeur de l'axe Oz et on lui applique la matrice de rotation (dans la bonne base, donc faut changer d'base, faire des calculs...)

a oé j'ai pas dit mais fallait utilisé le changement de variable u=xy et v=x/y... dsl

euh... *utiliser

Ah oui effectivement, ça marche vachement mieux.

Après les justifications d'usage (globalement le fait qu'on soit sur R+*)
on arrive à df/dv = 0
d'où effectivement f(u,v) = k*u donc f(x,y) = k*xy.
Et voilà.

non c'est plutot df/dv=0
donc f(x,y)=g(xy) avec g une fonction quelconque définie et derivable sur R+*

genre f(x,y)=ln(xy) ça marche