Premier exo:
Soit E l'ensemble des fonctions continues de R dans R.
On pose:
Phi: E -> E avec g(x)=int(0->x)t*f(t)dt
f -> g
1) Montrer que Phi est un endomorphisme de E... OK
2) Phi est-il injectif? Surjectif? (ind: injectif oui, Ker(Phi)={0} OK/ surjectif non, contre exemple)
3) Calculer les valeurs propres de phi. (ind: y'en a pas)
Deuxième exo:
Soit A matrice réelle carré d'ordre N vérifiant l'équation: A^3+A-Id=0.
On suppose que A n'est pas une matrice scalaire.
1)Est ce que A est diagonalisable:
-dans C? (OK)
-dans R? (ind: se servir du fait que A ne soit pas scalaire)
2)Montrer que detA>0. (ind: detA=produit des valeurs propres donc de fil en aiguille... OK)
Soit E l'ensemble des fonctions continues de R dans R.
On pose:
Phi: E -> E avec g(x)=int(0->x)t*f(t)dt
f -> g
1) Montrer que Phi est un endomorphisme de E... OK
2) Phi est-il injectif? Surjectif? (ind: injectif oui, Ker(Phi)={0} OK/ surjectif non, contre exemple)
3) Calculer les valeurs propres de phi. (ind: y'en a pas)
Deuxième exo:
Soit A matrice réelle carré d'ordre N vérifiant l'équation: A^3+A-Id=0.
On suppose que A n'est pas une matrice scalaire.
1)Est ce que A est diagonalisable:
-dans C? (OK)
-dans R? (ind: se servir du fait que A ne soit pas scalaire)
2)Montrer que detA>0. (ind: detA=produit des valeurs propres donc de fil en aiguille... OK)
