Maths 1: exo1 intégrale impropre à 2 variables/ exo2 suites

Assez chaud comme sujet non ?

Pour le 1 j'aurai tendance à faire un changement de variable, mais je dois avouer qu'en suite je suis un peu bloqué, j'peux pas trop utiliser le théorème de Fubini...
Une indication ?
(sinon, a l'intuition, j'dirais que Un tend vers 0. J'pense qu'on peut arriver à prouver que Un est décroissante et minorée par 0, ce qui nous donne sa convergence, par contre pour la limite j'vois que l'encadrement.. Ou un th de la double limite ? Vu que l'intégrande tend vers la fonction nulle quand n tend vers l'infini, si on arrive à faire passer la limite de n dans l'intégrale, on devrait arriver à montrer que (Un) tend vers 0. Mais alors, pour justifier ça...


Pour l'exercice 2 je propose d'étudier la fonction f(x) = x + x² - ln(x) sur ]0,+oo[
On voit qu'elle est toujours positive, tend vers l'infini quand x tend vers 0 ou l'infini et qu'elle vaut 2 en x=1, ce qui constitue son minimum. Par continuité de f on a bien existence des suites (Un) et (Vn).
On a aussi l'encadrement 0 < Un < 1 et 1 < Vn pour tout entier n supérieur à 2.
Voilà pour la question 1.

La suite (Un) me semble décroitre assez logiquement (f est décroissante dans ]0,1[ donc pour trouver N>n il faut un antécédent f-1(N) < f-1(n). Comme (Un) est minorée par 0, elle converge.
Par contre (Vn) me semble croissante (pour la même raison) mais je n'ai pas de majorant à proposer...
Et pour les équivalents, je sèche aussi. Un petit indication ?

Je voulais savoir s'il n'était pas possible d'ajouter des indications ou carrément la solution aux exos, parce que parfois c'est pas si mal de voir la solution après avoir bien cherchée, en tout cas moi je retiens bien comme ça.
En tout cas, c'est déjà bien que plusieurs personnes publient leur sujet CHOSE QUE TOUS NE FONT PAS ! ^^ mais pour ma part je publie aussi la solution et si posssible sur une autre page pour pas qu'on soit tenté de trop vite jeter un coup d'oeil.

Peut-être d'autres personnes sont de mon avis, je dis ça uniquement pour inciter les gens à chercher les exos qu'on publie, perso je suis plus motivé pour chercher si je sais que si vraiment je trouve rien je peux avoir de l'aide.

Ce que j'ai fait:

Exo 1:

1) cdv polaire puis minoration de (x,y)->fn(x,y), la fonction à intégrer, (par 1/(1-r+r²)^n pour éliminer theta et se ramener à une intégrale à un paramètre) et équivalent pour r->+oo (Riemann).

2) Et non Robin! fn(-1/2,0)=(4/3)^n -> +oo donc Un->+oo. (l'implication n'est pas trivial du tout, il faut la démontrer).


Exo 2:

1) cf Robin sauf que l'encadrement c'est 0 < Un < 1/2 et 1/2 < Vn (mais bon, on s'en fout!)

2) Un->0 (par l'absude dans l'equation: si lim(Un)<>0, à droite CVce mais à gauche DVce)
Vn diverge (par l'absurde aussi je pense)

3) je pense qu'il faut bidouiller l'equation...

T'es sur pour la limite de Un ? Parce que Maple m'fait tendre ça vers 0 hein ! Ou alors j'ai du mal définir le truc, j'vais le refaire.

Autant pour moi pour l'encadrement dans le premier exo : j'sais plus faire une étude de fonction, j'vais m'coucher >_<

Oui sûr pour Un, confirmé par M. Mon examinateur. Apparament tu as aussi du mal avec Maple!

Faut croire J'vais recommencer on verra bien